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| El hombre que contaba granos de trigo.
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joan |
 Publicado: 2013-04-02 17:00:09
sería muy bonito que las personas viviésemos siempre en paz y sin guerras. Supongamos, aunque no sea cierto, que en tal caso no nos moriríamos nunca.
No se hasta que punto eso seria bueno, si tenéis la paciencia para leer los siguientes problemas que he extraido de Yakov Perelmann.
Las he dividido en cinco capítulos para que la lectura se pueda hacer por etapas, aprovechando tanto las fiestas de Semana Santa como las lluvias que invitan
a permanecer en casa.
*****
Admitir que las personas vivamos siempre significa admitir que otros seres vivos también lo harán, de lo contrario seríamos demasiado egoistas, y hay seres vivos que se reproducen a mucha mayor velocidad que nosotroslos humanos.
Supongamos, por que no, que las amapolas son los seres vivos mas rápidos en reproducirse.
Una cabeza de amapola, en la fase final de su desarrollo, está repleta de minúsculas semillas cada una de las cuales puede originaruna nueva planta.
El problema de Perelmann consiste en averiguar cuantas amapolas se obtendrían si germinaran, sin excepción, todas las semillas.
Para saberlo es preciso contar las semillas contenidas en una cabeza de amapola. Es una tarea larga y aburrida, pero el resultado obtenido es tan interesante, que merece la pena armarse de paciencia y hacer el recuento
hasta el fin. La cabeza de una amapola tiene (en números redondos) tres mil semillas.
***REPRODUCCIÓN RÁPIDA DE LAS PLANTAS Y DE LOS ANIMALES***
¿Qué se deduce de esto? que si el terreno que rodea a nuestra planta fuera suficiente y adecuado para el crecimiento de esta especie, cada semilla daría, al caer al suelo, un nuevo tallo, y al verano siguiente crecerían en este sitio, tres mil amapolas. ¡Un campo entero de amapolas en una sola cabeza!
Veamos lo que ocurriría después. Cada una de las tres mil plantas daría, como mínimo, una cabeza (con frecuencia, varias cabezas), conteniendo tres mil semillas cada una. Una vez crecidas, las semillas de cada cabeza darían
tres mil nuevas plantas, y por tanto, al segundo año tendríamos ya:
tres mil multiplicado por tres mil igual a nueve millones de plantas.
Es fácil calcular que al tercer año, el número de nuevas plantas, procedentes de la amapola inicial, alcanzaría ya ventisiete mil millones, al cuarto año ocheta y un billones ,,, y al quinto año faltaría ya sitio en la Tierra para tantas ampolas, pues su número ascendería a doscientos cuarenta y tres mil billones.
La superficie terrestre, o sea, todos los continentes e islas del globo terráqueo, ocupan un área total de ciento treinta y cinco millones de kilómetros cuadrados, aproximadamente dos mil veces menor que el número de amapolas que hubieran debido crecer.
Vemos, por lo tanto, que en caso de existir la inmortalidad, viviríamos bien cuatro años ,,, ¡pero al quinto nos saldrían amapolas hasta en las orejas!
***GALILEO Y NEWTON***
Por otra parte no creo que la muerte no natural de un personaje deba ser motivo de alarma, cuando en la historia de las matemáticas eso sucede a menudo. Citaré un par de nombres que quizás sean los mas conocidos: Galileo y Newton.
El primero se dice comunmente que fue ejecutado por contradecir las antiguas leyes de la geometría del espacio, al revelar que la Tierra era redonda y no plana. He leído sin embargo, algunos textos que no dicen eso mismo, sinó que, bien al contrario, se premió a Galileo por sus descubrimientos con un puesto de profesor de matemáticas y con un sueldo fijo. La verdadera razón por la que el sabio fue ejecutado por tener un comportamiento extremadamente impúdico con sus jovenes alumnos.
También Newton tuvo una muerte no natural, pero por motivo de faldas. Resulta que cortejaba a una dama que resultó ser cortejada a la vez por un conde diestro en las armas, y Newton, gran matemático pero muy joven e inexperto en la lucha, pereció en duelo contra dicho aristócrata tras recogerle el guante.
Retomando el cuento del grano de arroz del que se habló, resulta que a mí me lo contaron con granos de trigo y que mataron al inventor del tablero, llamado Seta, pues no podía saldársele la deuda que solicitaba. En cualquier caso, tanto el pan como la paella valenciana, son comidas muy buenas, y los humanos las devoramos sin permitir que se reproduzcan en exceso.
***LEYENDA SOBRE EL TABLERO DE AJEDREZ***
En realidad el tablero de ajedrez es innecesario para contar este cuento, o al menos para llegar a la enorme suma matemática que se obtiene. En el cuento se pone una semilla de trigo en la primera casilla, dos en la segunda, cuatro
en la tercera, y así sucesivamente. Claro, que para tal cometido no necesitamos un tablero de ajedrez, nos basta cualquier otro, o incluso sin tablero de ningún tipo se puede hacer.
Una de las cuestiones que se plantean es la de averiguar si la cifra total de granos de trigo caben en el papel, lo que resulta ser cierto. De hecho nisiquiera se necesita disponer de un papel muy grande, pues los números se pueden expresar de muy distintas formas. Se pueden expresar con dígitos numéricos, con algoritmos representativos, con letras griegas o romanas, etc. Es incluso posible traducir los números a otros sistemas numéricos, por ejemplo al sistema binario. Con ello se podría poner en tela de juicio que uno mas uno sean siempre dos, ya que en el sistema binario nuestro número dos quedaría representado por un uno y un cero, o sea, con la misma expresión numérica que nuestro número diez. Por poner una comparación, matemáticamente Londres es siempre London, pero según quien lo diga, y en el momento y lugar que lo haga, no causa el mismo efecto. En cualquier caso a la premisa le sobraría el "siempre" para estar bien formulada.
Y ahora que sabemos que uno mas uno suman dos, huelga decir que lo hacen siempre, pasemos a número mayores.
He elegido la forma textual de expresar los números, a pesar de no ser la mas escueta. Así que espero que me perdonen los amantes del estricto rigor de las matemáticas exactas. Mi intencionalidad es tan solo de contar anécdotas y
comparaciones, sin comprobar a ciencia cierta la veracidad de las cifras que cito, robadas en mayor parte de la palabra escrita o hablada de los mas eruditos que yo.
Según los datos de Yakov I. Perelmann (quien no especifica si se mató o no a Seta), el resultado expuesto con los números de nuestro sistema decimal es de:
dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince granos de trigo.
Es una cifra llamativa porque cuesta de deletrear, pero que encaja con otras dentro del mundo de la astronomía.
Cabe decir que en un futuro puede ser interesante cambiar los granos de trigo por los de arroz con el fin de crear una nueva unidad métrica mas grande, que por ejemplo podríamos llamar "paella valenciana". De este modo en lugar
de contar granitos de arroz se podrían contar paellas valencianas, o bien cocas de pan, pero incluso así nos hallarímos ante cifras muy pesadas de manejar.
Mi profesor de matemáticas, un excelente docente, realizó la cuenta del volumen total de los granos de trigo, y la comparó con el volumen del sistema estelar concido por el hombre, éste es la Via Láctea (como vemos la idea de usar nombres de comestibles para las cosas grandes no es una idea nueva), concluyendo que no tienen cabida.
Podríamos pensar que es una cifra muy grande, pero en realidad es muy pequeña si la comparamos con otras curiosidades que ocurren en el tablero del ajedrez.
***COMBINACIONES DE PIEZAS EN UN TABLERO DE AJEDREZ***
Por ejemplo, el número de posiciones que pueden producirse entre las treinta y dos piezas del ajedrez, teniendo en cuenta todas las posibilidades, incluso las contrarias a las normas del juego, serían de:
cuatro septillones seiscientos treinta y cuatro mil setecientos ventiseis hexallones seiscientos noventa y cinco mil quinientos ochenta y siete pentallones ochocientos nueve mil seiscientos cuarenta y un mil tetrallones ciento noventa y dos mil cuarenta y cinco trillones novecientos ochenta y dos mil trescientos ventitrés billones doscientos ochenta y cinco mil seiscientos setenta millones cuatrocientos mil posiciones.
Esta cifra solo tiene interés anecdótico, pues contiene muchas posiciones en que, por ejemplo, hay peones situados en las horizontales primera y octava de cada bando. Por el contrario, si se atiende a las normas ajedrecísticas, el número de posiciones legales que se pueden formar con las treinta y dos piezas se reduce al orden de diez elevado a la potencia treinta y dos, o sea, del orden de los pentallones.
En cualquier caso ambas cifras, que tan solo quieren ilustrar la cantidad de combinaciones posibles entre las piezas del ajedrez, superan en mucho la de los granos de trigo.
Otro dato. La nebulosa de Andrómeda, que es el objeto físico mas lejano que la mente humana puede llegar a concebir, "tansolo" dista noventa y cinco trillones de kilómetros de nuestro planeta Tierra. Es decir que sumando los centímetros
necesarios para realizar todas las combinaciones posibles de piezas del ajedrez y transponiéndolos a kilómetros, si recorriéramos esa misma distancia con una nave espacial, la nebulosa Andrómeda quedaría perdida tras el retrovisor de nuestra nave.
Sabiéndolo, sería interesante comprobar si tardaríamos mas tiempo en situar todas las posibles combinaciones de un tablero de ajedrez que en medir la masa del Sol con una balanza de precisión, midiendo por gramos con una cucharilla de café con capacidad para tomar dos gramos. Según los datos de Perelmann, la masa del Sol se estima en dos multiplicado por diez elevado a la potencia de veintisiete toneladas, con un uno por ciento de margen de error. Me he atrevido a realizar la cuenta, que en realidad y pese a la aparatosidad de los números tan enormes, es mucho mas fácil que aprender la división o la multiplicación. Tan solo se trata de coger los datos y desplegar su larga lista de ceros en fila india, para compararlos. Con ello, según mis cálculos, y suponiendo que tardásemos lo mismo en pesar una cucharilla de Sol que en situar una nueva posición con las piezas de ajedrez, nos llevaría exactamente el mismo tiempo pesar el Sol en una balanza de precisión que situar todas las combinaciones legales de las piezas de ajedrez. Pero solo las legales, en su completitud tardaríamos mucho mas en situar las piezas. Un dato curioso, que tan solo pretende ilustrar o dar una idea la magnitud de las cifras que se reflejan.
***DESDOBLAMIENTO DE UN PAPEL DE TAMAÑO FOLIO***
Hay, sin embargo, problemas similares al del doblamiento del grano de trigo, donde las cifras se vueven llamativas por su sencillez, y no por ello dejan de ser menos sorprendentes. Este otro problema entra mas bien dentro del espíritu de las matemáticas, que no es tanto crear confusión con números grandes como de simplificar y crear belleza con números escuetos. De hecho es el mismo problema de doblamiento múltiple de cifra pero a la inversa, o sea, disminuyente.
Una hoja de papel, de un gramo de masa, es dividida en dos partes, y una de las mitades es, a su vez, dividida por la mitad, la nueva mitad por otra mitad, y así sucesivamente.
¿Cuántas divisiones serían precisas para llegar a la dimensión del átomo?
El resultado de la operación matemática, teniendo en cuenta que el átomo pesa la inversa de diez elevado a la potencia de venticuatro gramos, es que se necesitan tan solo unos pocos desdoblamientos, cerca de ochenta. Una cifra muy común.
Por cierto, para elevar el volumen del grano de trigo al nivel de la Via Lactea nos bastaban y nos sobraban sesenta y cuatro veces. Por tanto se nos revela la sospecha de que, sin poderlo afirmar en un plano estrictamente científico, pues en un lado se habla de masa y en otro de volumen, la diferencia entre la hoja de papel con respecto al átomo parece ser mucho mayor que la de la Via Lactea con respecto al grano de trigo ,,, ¿quien lo hubiera dicho?
Bibliografia:
"Ajedrez y Matemáticas" de Bonsdorff.Fable.Riihimaa, Ed Escaques.
"Matemáticas Recreativas", "Astronomia Recreativa" ambos de Yakov Perelmann
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carrevi |
Publicado: 2013-04-03 03:11:47
Saludos |
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Oscar Chao |
Publicado: 2013-04-03 03:58:15
* Los fundadores de Cartago eran fenicios desterrados: cuando llegaron a donde fundarían su ciudad, les dijeron a los lugareños que no querían guerrear con ellos; pero que, por motivos religiosos, necesitaban una tierra propia y les pidieron que les cedieran "la porción de tierra que pudiera abarcar una piel de becerra cortada en tiras". Los lugareños estimaron que sería más o menos una hectarea y jurarron que podían quedarse con esa tierra; que no era motivo de guerra.
Los cartagineses cortaron la piel...que abarcaba varios kilómetros cuadrados. Los lugareños, atados por su juramente, tuvieron que cederles esas tierras.
* Hay más planetas similares a la Tierra en el universo que décimas de segundo han pasado desde el asesinato de Julio Cesar.
Saludos. |
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carrevi |
Publicado: 2013-04-03 14:59:48
Carlos |
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J . J |
Publicado: 2013-04-03 16:14:32 |
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joan |
Publicado: 2013-04-03 20:11:13
En realidad lo mas difícil fue descubrir por qué uno mas uno suman dos, para lo que me ayudó una ligera conversación con Beltrán y con Jabato. Pero no la encuentro en el posteo que abrió J.J con el título "Habemus Papa" ¿donde está?¿sabéis si ocurrió algo?
saludos. |
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maroczy |
Publicado: 2013-04-03 20:24:11 |
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joan |
Publicado: 2013-04-09 18:55:43
Como complemento a mi anterior artículo, recientemente he leído este otro problema que todavía habla de cifras mas desorbitadamente grandes.
***CANTIDAD DE DISTINTAS PARTIDAS POSIBLES DE UN TABLERO DE AJEDREZ***
Cabe decir que no hay que confundir el número de partidas distintas con el de posiciones, cuya cifra ya se vió anteriormente.
Según el libro "La matemática de los juegos y distracciones matemáticas", del matemático belga M. Kraitchik, encontramos el siguiente cálculo, que empieza así:
"Al mover la primera pieza, las blancas tienen veinte jugadas a elegir (dieciseis jugadas con los ocho peones, cada uno de los cuales puede avanzar un escaque o dos; y dos jugadas de cada Caballo) A cada jugada de las blancas, las negras pueden contestar con cualquiera de esas variantes. Combinando cada movimiento de las blancas con cada uno de las negras tendremos, después de la primera jugada por ambas partes,
veinte por veinte igual a cuatrocientas variantes.
Después del primer movimiento, el número de jugadas posibles es aún mayor. Si las blancas han movido, por ejemplo, e2-e4, para la segunda jugada, tienen ya ventinueve variantes a elegir. En lo sucesivo, el número de jugadas posibles es todavía mayor. Tan sólo la Reina, encontrándose, por ejemplo, en el escaque "d5", puede hacer ventisiete movimientos (suponiendo que todas las casillas donde puede dirigirse estén libres). Sin embargo, para simplificar el cálculo, nos atendremos a las siguientes medias:
.Veinte variantes para cada una de las partes en las primeras cinco jugadas;
.Treinta variantes para cada parte en todas las demás jugadas.
Admitamos, además, que el total de jugadas en una partida normal, como término medio, sea cuarenta. Partiendo de este supuesto, las partidas
posibles serán:
veinte por veinte, cuyo resultado será elevado a la potencia de cinco, multiplicado por el resultado obtenido de multiplicar a la vez treinta por treinta y de elevarlo a la potencia treinta y cinco.
(,,,) "
En definitiva, después de desenroscar un bosquejo se simplificaciones, transformaciones, aproximaciones, equivalencias, etc, que suelen
tener por la mano los matemáticos, el resultado es que el número de partidas distintas posibles que se pueden producir en un tablero de ajedrez es
dos multiplicado por diez elevado a la potencia de ciento dieciseis partidas, es decir, una cifra que digitalmente consta de un dos seguido de ciento dieciseis ceros.
En una revisión mas exacta, por si fuera poco, todavía amplió esa cifra en un dos y medio seguido de los mismos ciento dieciseis ceros.
O sea, que hay que tener la letra muy pequeña, para que dicha cifra no quepa de punta a punta en un mismo papel. Yo necesité dos lineas, y dudo que un letrado sepa describirla sin dificultad ,,, (¿ dos decimohexallones sea acaso correcto?) En cualquier caso esta cifra, comparándola con la de los granos de trigo, nos devuelve la impresión de poder coger los granos y metérselos en el bolsillo al Emir.
Este cálculo no se presta a contradicciones, pero se da la suposición de que las partidas duren lo habitual, o sea unas cuarenta jugadas.
Como curiosidad matemática, las partidas pueden durar mucho mas. El calculista N.Petrovic ha apurado por completo la teoría, basando su cálculo en el quinto milésimo octavo noventaésimo noveno movimiento de las blancas de lo que fué la "partida más larga", quitándonos definitivamente el sueño con la cantidad de
diez elevado a la potencia de dieciocho mil novecientas partidas
Cierto que solo es bajo la suposición de agotarse "in extremis" la máxima cantidad de partidas distintas posibles, pero,,,
¡¡Ahí si que se me acabó por completo el papel!! |
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carrevi |
Publicado: 2013-04-09 23:59:29
PD. No nos olvidemos que un programa informatico esta compuesto de "instrucciones" creadas por el ser humano basadas en experiencias humanas, por lo tanto una computadora solo ejecuta lo que el hombre de una u otra forma le dice, no tiene capacidad de razonamiento ni criterio propio.
Amen
Carlos |
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joan |
Publicado: 2013-04-10 19:38:07
El caso es que el ajedrez, al ser menos azaroso, también guarda mayor interés en descifrar sus misterios, y por tanto atrae mas a los calculistas.
Así que, aunque sea imposible prevenirlo todo ,,, ¡nada de desanimarse,,, sigan jugando!
Saludos
Joan |
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